Loading...
 

Matematyka

E-podręczniki
Moduły
Tags Równania różniczkowe cząstkowe

Klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych 2-go rzędu 2-zmiennych

Rozważmy równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego

(1)
\( a_{11} u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+F(x,y,u,u_x,u_y)=0, \)
gdzie \( \hskip 0.3pc a_{11},\hskip 0.3pc a_{12},\hskip 0.3pc a_{22} \hskip 0.3pc \) są funkcjami określonymi w zbiorze \( \hskip 0.3pc D\subset \mathbb{R}^2, \hskip 0.3pc \) nie zerującymi się równocześnie w żadnym punkcie tego zbioru, \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest szukaną funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^2 \hskip 0.3pc \) zmiennych \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y, \hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją pięciu zmiennych. Zauważmy, że przy przyjętych założeniach o funkcji \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \)- na mocy twierdzenia Schwarza - pochodne mieszane tej funkcji są sobie równe, tzn.
\( u_{xy}=u_{yx}. \)

Pokażemy, że dokonując stosownej zmiany zmiennych, możemy równanie ( 1 ) doprowadzić do postaci, w której współczynnik przy pochodnej mieszanej przyjmie wartość zero. Postać taką nazywamy postacią kanoniczną, przy czym: jeśli pozostałe współczynniki przy pochodnych drugiego rzędu są różne od zera i mają ten sam znak, równanie nazywamy typu eliptycznego, jeśli są znaków różnych, typu hiperbolicznego, jeśli przynajmniej jeden ze współczynników przy pochodnych drugiego rzędu jest równy zeru, natomiast pochodne pierwszego rzędu względem tych zmiennych nie znikają, typu parabolicznego. Tak więc równania:

\( u_{xx}+u_{yy}=0,\quad u_{xx}-u_{yy}=0, \quad u_{x}+u_{yy}=0, \)

są odpowiednio typu eliptycznego, hiperbolicznego i parabolicznego.
Należy podkreślić, że typ równania nie zależy od sposobu sprowadzenia do postaci kanonicznej. Okazuje się, że jest on niezmiennikiem względem przekształceń nieosobliwych.
Rozważmy przekształcenie

(2)
\( \xi= \xi (x,y), \quad \eta =\eta (x,y), \quad (x,y)\in D. \)

Przyjmijmy, że przekształcenie to obszar \( \hskip 0.3pc D \hskip 0.3pc \) przekształca w obszar \( \hskip 0.3pc \Delta. \hskip 0.3pc \)
Załóżmy, że funkcje \( \hskip 0.3pc \xi \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc\eta \hskip 0.3pc \) są klasy \( \hskip 0.3pc C^1 \hskip 0.3pc \) w zbiorze \( \hskip 0.3pc D \hskip 0.3pc \) i ponadto istnieje przekształcenie

(3)
\( x=x(\xi , \eta), \quad y=y(\xi , \eta),\quad (\xi ,\eta )\in \Delta \)

odwrotne do przekształcenia ( 2 ). Przypomnijmy, że jeśli jakobian przekształcenia ( 2 ) jest różny od zera, to przekształcenie takie nazywamy przekształceniem nieosobliwym. Przekształcenie nieosobliwe jest zawsze odwracalne. Kładąc

\( w(\xi , \eta )=u\big(x(\xi , \eta), y(\xi , \eta)\big), \quad (\xi ,\eta )\in \Delta , \)

równanie ( 1 ) przekształcimy na równanie względem zmiennych \( \hskip 0.3pc \xi \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \eta. \hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc w \hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem równania przekształconego. Po powrocie do współrzędnych wyjściowych otrzymamy rozwiązanie równania wyjściowego.

\( u(x,y)=w\big(\xi (x,y), \eta (x,y)\big), \quad (x,y)\in D. \)

Oczywiście

\( \begin{aligned}&u_x=w_{\xi}\xi_x + w_{\eta} \eta_x,\qquad u_y \,=\, w_{\xi}\xi_y + w_{\eta} \eta_y,\\&u_{xx} = w_{\xi \xi}\xi_x^2 + 2w_{\xi \eta} \xi_x \eta_x +w_{\eta \eta} \eta_x^2 +w_{\xi} \xi_{xx} +w_{\eta} \eta_{xx},\\&u_{xy} = w_{\xi \xi}\xi_x \xi_y + w_{\xi \eta} \big(\xi_x \eta_y +\xi_y \eta_x \big)+w_{\eta \eta}\eta_x \eta_y+w_{\xi} \xi_{xy} + w_{\eta} \eta_{xy},\\&u_{yy} =w_{\xi \xi}\xi_y^2 + 2w_{\xi \eta} \xi_y \eta_y +w_{\eta \eta}\eta_y^2 +w_{\xi} \xi_{yy} +w_{\eta} \eta_{yy}.\end{aligned} \)

Jeśli położymy

(4)
\( \begin{aligned}&\widetilde a_{11} = a_{11}\xi_x^2 +2a_{12}\xi_x \xi_y +a_{22}\xi_y^2,\\& \widetilde a_{12} = a_{11}\xi_x \eta_x +a_{12}\big(\xi_x \eta_y +\xi_y \eta_x\big)+a_{22}\xi_y \eta_y,\\&\widetilde a_{22} = a_{11}\eta_x^2 +2a_{12}\eta_x \eta_y +a_{22}\eta_y^2,\end{aligned} \)

to równanie ( 1 ) po zastosowaniu przekształcenia ( 3 ) przyjmie postać

\( \widetilde a_{11}w_{\xi\xi} +2\widetilde a_{12}w_{\xi \eta}+\widetilde a_{22}w_{\eta \eta} + \widetilde F(\xi ,\eta ,w, w_{\xi}, w_{\eta})=0, \)

gdzie współczynniki \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{11},\hskip 0.3pc \widetilde a_{12},\hskip 0.3 pc \widetilde a_{22}\hskip 0.3pc \) są funkcjami zmiennych \( \hskip 0.3pc \xi \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \eta. \hskip 0.3pc \) Założmy, że przekształcenie ( 2 ) jest tak dobrane, że \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{11}=0 \hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{22}=0. \hskip 0.3pc \) Równość \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{11}=0 \hskip 0.3pc \) oznacza, że

(5)
\( \begin{eqnarray}a_{11}\xi_x^2 +2a_{12}\xi_x \xi_y +a_{22}\xi_y^2=0.\end{eqnarray} \)

Podobnie równość \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{22}=0 \hskip 0.3pc \) oznacza, że jest spełnione równanie ( 5 ) z funkcją \( \hskip 0.3pc \eta \hskip 0.3pc \) w miejsce \( \hskip 0.3pc \xi. \hskip 0.3pc \) Oba zatem przypadki dają to samo równanie ( 5 ).

Uwaga 1:


Jeśli funkcja \( \hskip 0.3pc \xi = \varphi (x,y) ,\hskip 0.3pc \)gdzie \( \hskip 0.3pc \varphi_y \neq 0, \hskip 0.3pc \) jest całką równania ( 5 ), to rodzina funkcji
\( \varphi (x,y)=C \)

jest całką ogólną równania

(6)
\( a_{11}\Big(\dfrac{dy}{dx}\Big)^2-2a_{12}\dfrac{dy}{dx}+a_{22}=0. \)

Na odwrót, jeśli rodzina funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi (x,y)=C \hskip 0.3pc \) jest całką ogólną równania ( 6 ), to funkcja \( \hskip 0.3pc \xi =\varphi (x,y) \hskip 0.3pc \) jest całką równania ( 5 )
Istotnie, niech \( \hskip 0.3pc \xi =\phi (x,y) \hskip 0.3pc \) będzie całką równania ( 5 ). Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc \xi_y \neq 0. \hskip 0.3pc \) Dzieląc równanie ( 5 ) przez \( \hskip 0.3pc \xi_y^2 \hskip 0.3pc \)otrzymamy

(7)
\( \begin{eqnarray}a_{11}\Big(\dfrac{\xi_x}{\xi_y}\Big)^2+2a_{12}\dfrac{\xi_x}{\xi_y}+a_{22}=0.\end{eqnarray} \)

Rozważmy rodzinę krzywych \( \hskip 0.3pc \varphi (x,y)=C.\hskip 0.3pc \)
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji uwikłanej, otrzymamy

(8)
\( \begin{eqnarray}\dfrac{dy}{dx}= -\dfrac{\varphi_x}{\varphi_y}=-\dfrac{\xi_x}{\xi_y}.\end{eqnarray} \)

Podstawiając ostatnią równość do równania ( 7 ) otrzymamy równanie ( 6 ), co oznacza, że \( \hskip 0.3pc \varphi (x,y)=C \hskip 0.3pc \) jest całką ogólną tego równania.

Załóżmy teraz, że \( \hskip 0.3pc \varphi (x,y)=C \hskip 0.3pc \) jest całką ogólną równania ( 6 ). Z twierdzenia o pochodnej funkcji uwikłanej otrzymamy wzór ( 8 ). Podstawiając zależność ( 8 ) do równania ( 6 ) otrzymamy ( 7 ), a w konsekwencji ( 5 ), co kończy dowód.

Równanie ( 6 ) nazywamy równaniem charakterystyk równania ( 1 ). Zauważmy jeszcze, że warunek \( \hskip 0.3pc \varphi_y \neq 0 \hskip 0.3pc \) w powyższej uwadze nie jest ograniczający.
Istotnie, jeśli chcemy aby rozważane przekształcenie było nieosobliwe, pochodne cząstkowe \( \hskip 0.3pc \varphi_x \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \varphi_y \hskip 0.3pc \) funkcji \( \hskip 0.3pc\varphi \hskip 0.3pc \) nie mogą zerować się równocześnie, zatem jedna z nich jest różna od zera. Jeśli \( \hskip 0.3pc \varphi_x \neq 0, \hskip 0.3pc \) argument jest analogiczny.
Kładąc \( \hskip 0.3pc \lambda =\dfrac {dy}{dx} \hskip 0.3pc \) równanie ( 6 ) przyjmie postać

(9)
\( \begin{eqnarray}a_{11}\lambda^2 -2a_{12} \lambda +a_{22}=0.\end{eqnarray} \)

Jak wiadomo, rozwiązanie tego równania względem \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc \) zależy od wyróżnika

\( \delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11} a_{22}-a_{12}^2, \)

przy czym należy rozważyć trzy przypadki: \( \hskip 0.3pc \delta <0, \hskip 0.3pc\delta =0\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \delta >0. \hskip 0.3pc \)

Przypadek \( \hskip 0.3pc \delta <0.\hskip 0.3pc \) Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc \delta (x,y) <0 \hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc (x,y)\in D. \hskip 0.3pc \)
Równanie ( 9 ) posiada wówczas dwa rozwiązania o wartościach rzeczywistych:

\( \lambda_1 = \dfrac{a_{12}-\sqrt{-\delta}}{a_{11}}, \qquad\lambda_2=\dfrac{a_{12}+\sqrt{-\delta}}{a_{11}}. \)

Niech \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) będą odpowiednio rozwiązaniami równań

\( \dfrac{dy}{dx}= \lambda_1 (x,y), \qquad\dfrac{dy}{dx}= \lambda_2(x,y). \)

Z Uwagi 1 wynika, że przekształcenie

\( \xi =\varphi (x,y), \quad \eta = \psi (x,y), \quad (x,y) \in D, \)

sprowadza równanie ( 1 ) do postaci

\( \widetilde a_{12}\,w_{\xi \eta}= \bar F\big(\xi ,\eta ,w,w_{\xi},w_{\eta}\big), \)

a po podzieleniu przez \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{12} \hskip 0.3pc \) do postaci

(10)
\( w_{\xi \eta}= \widetilde F\big(\xi ,\eta ,w,w_{\xi},w_{\eta}\big), \)

gdzie funkcja \( \hskip 0.3pc \widetilde F\hskip 0.3pc \) zawiera wszystkie wyrazy z pochodnymi niższego rzędu.
Dokonując kolejnej zmiany zmiennych

\( s=\dfrac{\xi + \eta}{2}, \quad t=\dfrac{\xi - \eta}{2} \)

i kładąc

\( v(s,t)= w\big(\xi (s,t),\eta (s,t)\big) = w(s+t, s-t), \)

otrzymamy

\( w(\xi ,\eta)=v\Big(\dfrac{\xi +\eta }{2},\dfrac{\xi -\eta }{2}\Big ). \)

Stąd

\( w_{\xi}\,=\,\dfrac{v_s+v_t}{2},\quad w_{\eta}=\, \dfrac{v_s-v_t}{2},\quad w_{\xi\eta}\,=\,\dfrac{v_{ss}-v_{tt}}{4}. \)

Po uwzględnieniu ostatnich zależności równanie ( 10 ) przyjmuje postać

\( v_{ss}-v_{tt} = \widehat F (s,t,v,v_s,v_t), \)

gdzie podobnie jak poprzednio funkcja \( \hskip 0.3pc \widehat F \hskip 0.3pc \) zawiera wszystkie wyrazy o pochodnych niższego rzędu. Jest to więc równanie typu hiperbolicznego.

Przypadek \( \hskip 0.3pc \delta=0.\hskip 0.3pc \) Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc \delta(x,y)=0 \hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc (x,y)\in D. \hskip 0.3pc \)
Oznacza to, że \( \hskip 0.3pc a_{11}a_{22}-a_{12}^2=0, \hskip 0.3pc \) czyli \( \hskip 0.3pc a_{12}= \sqrt{a_{11}a_{22}} \hskip 0.3pc \) lub \( \hskip 0.3pc a_{12}=- \sqrt{a_{11}a_{22}}. \hskip 0.3pc \)
Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc a_{12} \hskip 0.3pc \) przyjmuje pierwszą z wymienionych wartości, a ponadto \( \hskip 0.3pc a_{11}>0. \hskip 0.3pc \) Korzystając z ostatniej równości otrzymamy

\( \begin{eqnarray*}\widetilde a_{11} &=& a_{11}\xi_x^2 +2a_{12}\xi_x \xi_y +a_{22}\xi_y^2 =\big(\sqrt{a_{11}} \xi_x + \sqrt{a_{22}} \xi_y \big)^2, \\\widetilde a_{12} &=& a_{11}\xi_x \eta_x +\sqrt{a_{11}}\sqrt{a_{22}}\big(\xi_x \eta_y +\xi_y \eta_x\big)+a_{22}\xi_y \eta_y=\\{}&& \big(\sqrt{a_{11}} \xi_x + \sqrt{a_{22}} \xi_y \big)\big(\sqrt{a_{11}} \eta_x + \sqrt{a_{22}} \eta_y \big).\end{eqnarray*} \)

Zatem \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{11}=0 \hskip 0.3pc \) implikuje \( \hskip 0.3pc\widetilde a_{12}=0. \hskip 0.3pc \) Analogiczny rezultat uzyskamy gdy \( \hskip 0.3pc a_{12} \hskip 0.3pc \) przyjmuje drugą z wymienionych wartości. Jeśli zatem za funkcje \( \hskip 0.3pc \xi \hskip 0.3pc \) przyjmiemy rozwiązanie równania ( 6 ) a za \( \hskip 0.3pc \eta \hskip 0.3pc \) dowolną funkcje tak aby przekształenie było nieosobliwe, to po zmianie zmiennych równanie ( 1 ) przyjmie postać

\( w_{\eta \eta}= \widetilde F\big(\xi ,\eta ,w,w_{\xi},w_{\eta}\big). \)

Jeśli przy tym po prawej stronie nie znika \( \hskip 0.3pc w_{\xi}, \hskip 0.3pc \) jest to równanie typu parabolicznego.
Oczywiście najprostrze wydaje się podstawienie \( \hskip 0.3pc \xi = \varphi (x,y), \hskip 0.3pc \eta = y\hskip 0.3pc \) lub \( \hskip 0.3pc \xi =x,\hskip 0.3pc \eta =\varphi (x,y),\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc\varphi \hskip 0.3pc \) jest całką równania ( 6 ).

Przypadek \( \hskip 0.3pc \delta >0. \hskip 0.3pc \) Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc\delta (x,y)>0 \hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc (x,y)\in D. \hskip 0.3pc \)
W tym przypadku równanie ( 9 ) posiada dwa rozwiązania o wartościach zespolonych:

\( \lambda_1 = \dfrac{a_{12}+i\sqrt{\delta}}{a_{11}},\qquad \lambda_2=\dfrac{a_{12}-i\sqrt {\delta}}{a_{11}}. \)

Niech \( \hskip 0.3pc \Phi \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc\Psi \hskip 0.3pc \) będą odpowiednio rozwiązaniami równań

\( \dfrac{dy}{dx}= \lambda_1 (x,y), \qquad\dfrac{dy}{dx}= \lambda_2(x,y). \)

Oznaczmy przez \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) część rzeczywistą funkcji \( \hskip 0.3pc \Phi, \hskip 0.3pc \) a przez
\( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) jej część urojoną. Wówczas

\( \Phi = \varphi +i\psi ,\quad \Psi = \varphi -i\psi . \)

Oczywiście krzywe \( \hskip 0.3pc \Phi (x,y)=C \hskip 0.3pc \) (podobnie \( \hskip 0.3pc \Psi (x,y)=C\hskip 0.3pc \)) są całkami równania ( 5 ), a warunek \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{11}=0 \hskip 0.3pc \) przyjmie postać

\( a_{11}\Phi_x^2 +2a_{12}\Phi_x \Phi_y +a_{22}\Phi_y^2 =0. \)

Podstawiając do ostatniego równania związki

\( \Phi_x=\varphi_x + i\psi_x, \qquad \Phi_y = \varphi_y + i\psi_y, \)

otrzymamy

\( \big(a_{11}\varphi_x^2 +2a_{12}\varphi_x \varphi_y +a_{22}\varphi_y^2\big) - \big(a_{11}\psi_x^2 +2a_{12}\psi_x \psi_y +a_{22}\psi_y^2\big)+ 2i\big(a_{11}\varphi_x\psi_x +a_{12}(\varphi_x\psi_y +\varphi_y\psi_x )+a_{22}\varphi_y\psi_y \big)=0, \)

skąd wynika natychmiast, że

(11)
\( \begin{eqnarray}&& a_{11}\varphi_x^2 +2a_{12}\varphi_x \varphi_y +a_{22}\varphi_y^2= a_{11}\psi_x^2 +2a_{12}\psi_x \psi_y +a_{22}\psi_y^2, \nonumber \\&&\qquad a_{11}\varphi_x\psi_x +a_{12}(\varphi_x\psi_y +\varphi_y\psi_x )+a_{22}\varphi_y\psi_y =0.\end{eqnarray} \)

Stosując teraz zmianę zmiennych

(12)
\( \begin{eqnarray}\xi = \varphi (x,y), \quad \eta = \psi (x,y),\end{eqnarray} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc\psi \hskip 0.3pc \) są odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną całki \( \hskip 0.3pc \Phi, \hskip 0.3pc \) ze związków ( 4 ) i ( 11 ) otrzymamy natychmiast: \( \hskip 0.3pc\widetilde a_{11}= \widetilde a_{22}, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{12}=0. \hskip 0.3pc \) Zatem przekształcenie ( 12 ) sprowadza równanie ( 1 ) do postaci

\( w_{\xi\xi} + w_{\eta\eta} = \widetilde F\big(\xi ,\eta ,w,w_{\xi},w_{\eta}\big). \)

Jest to zatem równanie typu eliptycznego.
Na zakończenie rozważań rozpatrzmy przypadek, gdy w równaniu ( 1 ) współczynnik \( \hskip 0.3pc a_{22}=0. \hskip 0.3pc \) Wówczas zgodnie z ( 4 )

\( \widetilde a_{11} \,\,=\,\, a_{11}\xi_x^2 +2a_{12}\xi_x \xi_y, \qquad\widetilde a_{22} \,\,=\,\, a_{11}\eta_x^2 +2a_{12}\eta_x \eta_y. \)

Jeśli \( \hskip 0.3pc \varphi (x,y)=0 \hskip 0.3pc \) jest całką ogólną równania ( 6 ), wówczas zerowanie się współczynników \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{11},\hskip 0.3pc \widetilde a_{22} \hskip 0.3pc \) uzyskamy przyjmując \( \hskip 0.3pc \xi=\varphi (x,y),\hskip 0.3pc \eta =y. \hskip 0.3pc \) Jeśli natomiast \( \hskip 0.3pc a_{11}=0, \hskip 0.3pc \) przyjmując \( \hskip 0.3pc \xi=\varphi (x,y),\hskip 0.3pc \eta =x. \hskip 0.3pc \)

Uwaga 2:


Typ równania zależy od wyróżnika \( \hskip 0.3pc \delta. \hskip 0.3pc \) Korzystając z wzorów ( 4 ) nietrudno sprawdzić, że
\( \widetilde a_{12}^2-\widetilde a_{11}\widetilde a_{22}=\big(a_{12}^2 - a_{11} a_{22}\big) \big(\xi_x\eta_y -\xi_y\eta_x\big)^2, \)
skąd wynika natychmiast, że typ równania jest niezmiennikiem względem przekształceń nieosobliwych.

Uwaga 3:


Zauważmy też, że znak wyróżnika \( \hskip 0.3pc \delta \hskip 0.3pc \) może się zmieniać w zależności od punktu \( \hskip 0.3pc (x,y)\in D. \hskip 0.3pc \) Niech
\( D_1=\{(x,y)\in D: \delta (x,y) <0\}, \hskip 1pc D_2=\{(x,y)\in D: \delta (x,y)=0)\}, \hskip 1pc D_3=\{(x,y)\in D: \delta (x,y) >0\}. \)
Zatem w obszarze \( \hskip 0.3pc D_1 \hskip 0.3pc \) równanie jest typu hiperbolicznego, w obszarze \( \hskip 0.3pcD_2 \hskip 0.3pc \) typu parabolicznego a w obszarze \( \hskip 0.3pc D_3 \hskip 0.3pc \) typu eliptycznego.

Przykład 1:


Rozważmy równanie
\( u_{xx}-x y u_{yy}=0. \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc \delta = -xy \hskip 0.3pc \) jest ujemne w pierwszej i trzeciej ćwiartce, dodatnie w drugiej i czwartej ćwiartce, równanie to jest typu hiperbolicznego w pierwszej i trzeciej ćwiartce oraz typu eliptycznego w drugiej i czwartej ćwiartce.

Na osiach \( \hskip 0.3pc x=0 \hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc y=0, \hskip 0.3pc \) równanie redukuje sią do postaci \( \hskip 0.3pc u_{xx}=0, \hskip 0.3pc \) czyli równania zwyczajnego.

Zadanie 1:

Treść zadania:
Sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
\( x^2 u_{xx}-2x y u_{xy}+y^2 u_{yy}=0. \)

Zadanie 2:

Treść zadania:
Sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
\( u_{xx}+2u_{xy}-3u_{yy}+3u_x+2u_y=0. \)

Zadanie 3:

Treść zadania:
Sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
\( y^2 u_{xx}+2x^2 u_{yy}+2x y u_{xy}+y u_y=0. \)

Informacja dodatkowa 1:


Na zakończenie tego modułu zauważmy, że dobierając stosowne przekształcenie nie tylko możemy doprowadzić równanie do postaci kanonicznej, ale również znacznie go uprościć. Na przykład, w przypadku równania liniowego o stałych współczynnikach, stosując przekształcenie
\( u=ve^{\alpha x+ \beta y} \)
i dobierając odpowiednio \( \hskip 0.3pc \alpha \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \beta \hskip 0.3pc \) możemy pozbyć się wyrazów z pierwszą pochodną.

Przykład 2:


Rozważmy równanie
\( u_{xx}-u_{yy} +\dfrac 32u_x-\dfrac 14u_y=0. \)

(Zauważmy, że jest to postać kanoniczna równania z zadania 2). Stosując powyższe podstawienie otrzymamy:

\( u_x =(v_x+\alpha v)e^{\alpha x+ \beta y},\hskip 2pc u_y \,\,=\,\,(v_y+\beta v)e^{\alpha x+ \beta y}, \)
\( u_{xx} =(v_{xx}+2\alpha v_x+\alpha^2v)e^{\alpha x+ \beta y},\hskip 2pc u_{yy} = (v_{yy}+2\beta v_y+\beta^2v)e^{\alpha x+ \beta y}. \)

Podstawiając powyższe wielkości do równania wyjściowego otrzymamy po uporządkowaniu

\( v_{xx}-v_{yy}+\big(2\alpha +\dfrac 32 \big)v_x-\big(2\beta+\dfrac 14\big)v_y +\big( \alpha^2-\beta^2+\dfrac 32 \alpha-\dfrac 14\beta \big)v=0. \)

Przyjmując \( \hskip 0.3pc \alpha= -\tfrac 34,\hskip 0.3pc \beta =-\tfrac 18 \hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( v_{xx}-v_{yy}-\dfrac{35}{64}v=0. \)



Ostatnio zmieniona Piątek 10 z Czerwiec, 2022 10:40:15 UTC Autor: Julian Janus, Józef Myjak
Zaloguj się/Zarejestruj w OPEN AGH e-podręczniki
Czy masz już hasło?
Przypomnij hasło

Hasło powinno mieć przynajmniej 8 znaków, litery i cyfry oraz co najmniej jeden znak specjalny.

Przypominanie hasła

Wprowadź swój adres e-mail, abyśmy mogli przesłać Ci informację o nowym haśle.
Moduł został dodany
Dziękujemy za rejestrację!
Na wskazany w rejestracji adres został wysłany e-mail z linkiem aktywacyjnym.
Wprowadzone hasło/login są błędne.